ردیابی هرج و مرج "سطح بعدی" حد واقعی پیش‌بینی‌پذیری

پیر-سیمون لاپلاس، دانشمند فرانسوی، در سال 1814 به وضوح انتظار خود را مبنی بر اینکه جهان کاملاً قابل شناخت است، بیان کرد و اظهار داشت که یک "شیطان" به اندازه کافی باهوش می‌تواند با دانش کامل از زمان حال، کل آینده را پیش‌بینی کند. آزمایش فکری او اوج خوش‌بینی در مورد آنچه فیزیکدانان ممکن است پیش‌بینی کنند را نشان می‌داد. از آن زمان، واقعیت بارها جاه‌طلبی‌های آنها برای درک آن را متواضع کرده است.

یکی از ضربه‌ها در اوایل دهه 1900 با کشف مکانیک کوانتومی وارد شد. هر زمان که ذرات کوانتومی اندازه‌گیری نمی‌شوند، در یک قلمرو اساساً مبهم از احتمالات ساکن هستند. آنها موقعیت دقیقی برای دانستن شیطان ندارند.

ضربه دیگر بعداً در همان قرن وارد شد، زمانی که فیزیکدانان متوجه شدند که سیستم‌های "آشوبناک" چقدر عدم قطعیت‌ها را تقویت می‌کنند. یک شیطان ممکن است بتواند آب و هوا را در 50 سال آینده پیش‌بینی کند، اما فقط با دانش بی‌نهایت از زمان حال تا هر ضربه بال هر پروانه.

در سال‌های اخیر، یک محدودیت سوم در فیزیک نفوذ کرده است - که از برخی جهات چشمگیرترین آنهاست. فیزیکدانان آن را در مجموعه‌هایی از ذرات کوانتومی، همراه با سیستم‌های کلاسیک مانند جریان‌های گردابی اقیانوس، یافته‌اند. این محدودیت که به عنوان غیرقابل تصمیم‌گیری شناخته می‌شود، فراتر از آشوب است. حتی یک شیطان با دانش کامل از وضعیت یک سیستم قادر به درک کامل آینده آن نخواهد بود.

توبی کیوبیت، فیزیکدانی که به دانشمند کامپیوتر در دانشگاه کالج لندن تبدیل شده و بخشی از پیشتاز حمله فعلی به ناشناخته‌ها است، می‌گوید: "من دیدگاه خدا را به شما می‌دهم، و شما هنوز نمی‌توانید پیش‌بینی کنید که چه اتفاقی خواهد افتاد."

اوا میراندا، ریاضیدان دانشگاه پلی‌تکنیک کاتالونیا (UPC) در اسپانیا، غیرقابل تصمیم‌گیری را یک "چیز آشوبناک سطح بعدی" می‌نامد.

غیرقابل تصمیم‌گیری به این معنی است که پاسخ دادن به سؤالات خاص به سادگی غیرممکن است. این یک پیام ناآشنا برای فیزیکدانان است، اما پیامی است که ریاضیدانان و دانشمندان کامپیوتر به خوبی می‌دانند. بیش از یک قرن پیش، آنها به طور دقیق ثابت کردند که سؤالات ریاضی وجود دارند که هرگز نمی‌توان به آنها پاسخ داد، اظهارات درستی که هرگز نمی‌توان آنها را ثابت کرد. اکنون فیزیکدانان در حال اتصال آن سیستم‌های ریاضی ناشناخته به تعداد فزاینده‌ای از سیستم‌های فیزیکی هستند و از این رو شروع به ترسیم مرز سخت شناخت‌پذیری در زمینه خود می‌کنند.

دیوید ولپرت، محققی در مؤسسه سانتافه که محدودیت‌های دانش را مطالعه می‌کند اما در کارهای اخیر دخالت نداشته است، می‌گوید: "این مثال‌ها محدودیت‌های عمده‌ای را بر آنچه ما انسان‌ها می‌توانیم ارائه دهیم، اعمال می‌کنند." "و آنها تخلف‌ناپذیر هستند."

سیاه‌ترین جعبه‌ها

یک مثال چشمگیر از ناشناختنی بودن در سال 1990 زمانی به فیزیک آمد که کریس مور، که در آن زمان دانشجوی فارغ‌التحصیل در دانشگاه کرنل بود، ماشینی غیرقابل تصمیم‌گیری با یک قسمت متحرک طراحی کرد.

تنظیمات او - که صرفاً نظری بود - شبیه یک ماشین پین‌بال بسیار قابل تنظیم بود. جعبه‌ای را تصور کنید که در قسمت پایین باز است. یک بازیکن جعبه را با ضربه‌گیرها پر می‌کند، پرتابگر را به هر موقعیتی در امتداد پایین جعبه منتقل می‌کند و یک توپ پین‌بال را به داخل پرتاب می‌کند. این ابزار نسبتاً ساده بود. اما همانطور که توپ به اطراف می‌چرخید، مخفیانه یک محاسبه انجام می‌داد.

مور پس از خواندن Gödel, Escher, Bach، کتابی برنده جایزه پولیتزر در مورد سیستم‌هایی که به خود ارجاع می‌دهند، مجذوب محاسبات شده بود. سیستمی که بیشتر تخیل او را تسخیر کرد، یک دستگاه خیالی بود که زمینه علوم کامپیوتر، ماشین تورینگ را راه‌اندازی کرده بود.

ماشین تورینگ که توسط ریاضیدان آلن تورینگ در مقاله‌ای برجسته در سال 1936 تعریف شد، از یک سر تشکیل شده بود که می‌توانست به بالا و پایین یک نوار بی‌نهایت بلند حرکت کند و با مجموعه‌ای از مراحل طبق تعدادی قوانین ساده که به آن می‌گفتند چه کاری انجام دهد، 0 و 1 را بخواند و بنویسد. یک ماشین تورینگ، با پیروی از یک مجموعه قوانین، ممکن است دو عدد را بخواند و حاصل ضرب آنها را چاپ کند. دیگری، با پیروی از مجموعه قوانین دیگری، ممکن است یک عدد را بخواند و جذر آن را چاپ کند. به این ترتیب، می‌توان یک ماشین تورینگ را طوری طراحی کرد که هر دنباله‌ای از عملیات ریاضی و منطقی را اجرا کند. امروزه می‌گوییم که یک ماشین تورینگ یک "الگوریتم" را اجرا می‌کند، و بسیاری (اما نه همه) فیزیکدانان ماشین‌های تورینگ را برای تعریف محدودیت‌های خود محاسبه، چه توسط رایانه، انسان یا شیطان، در نظر می‌گیرند.

مور بذر رفتار ماشین تورینگ را در موضوع مطالعات فارغ‌التحصیلی خود تشخیص داد: آشوب. در یک سیستم آشوبناک، هیچ جزئیاتی به اندازه کافی کوچک نیست که نادیده گرفته شود. تنظیم موقعیت یک پروانه در برزیل به اندازه یک میلی‌متر، در یک استعاره بدنام، می‌تواند به معنای تفاوت بین یک طوفان استوایی که به توکیو می‌رسد و یک گردباد که از طریق تنسی عبور می‌کند باشد. عدم قطعیت که به عنوان یک خطای گرد کردن شروع می‌شود، در نهایت آنقدر بزرگ می‌شود که کل محاسبه را فرا می‌گیرد. در سیستم‌های آشوبناک، این رشد می‌تواند به عنوان حرکت در سراسر یک عدد نوشته شده نشان داده شود: نادانی در جای یک‌دهم به سمت چپ پخش می‌شود و در نهایت از نقطه اعشار عبور می‌کند تا به نادانی در جای ده‌ها تبدیل شود.

مور ماشین پین‌بال خود را طوری طراحی کرد که قیاس را با ماشین تورینگ کامل کند. موقعیت شروع توپ پین‌بال نشان‌دهنده داده‌های روی نوار است که به ماشین تورینگ وارد می‌شود. به طور حیاتی (و غیرواقعی)، بازیکن باید بتواند موقعیت شروع توپ را با دقت بی‌نهایت تنظیم کند، به این معنی که تعیین موقعیت توپ به عددی با دنباله‌ای بی‌پایان از اعداد پس از نقطه اعشار نیاز دارد. مور تنها در چنین عددی می‌توانست داده‌های یک نوار تورینگ بی‌نهایت طولانی را رمزگذاری کند.

سپس آرایش ضربه‌گیرها توپ را به موقعیت‌های جدیدی هدایت می‌کند که مربوط به خواندن و نوشتن روی نوار ماشین تورینگ است. برخی از ضربه‌گیرهای منحنی نوار را به یک سمت تغییر می‌دهند و داده‌های ذخیره شده در مکان‌های اعشاری دوردست را به گونه‌ای قابل توجه‌تر می‌کنند که یادآور سیستم‌های آشوبناک است، در حالی که ضربه‌گیرهای منحنی مخالف برعکس عمل می‌کنند. خروج توپ از پایین جعبه پایان محاسبه را نشان می‌دهد و مکان نهایی به عنوان نتیجه است.

مور تنظیمات ماشین پین‌بال خود را با انعطاف‌پذیری یک کامپیوتر مجهز کرد - یک آرایش ضربه‌گیرها ممکن است هزار رقم اول پی را محاسبه کند، و دیگری ممکن است بهترین حرکت بعدی را در یک بازی شطرنج محاسبه کند. اما با این کار، او همچنین آن را با ویژگی‌ای آمیخت که معمولاً با رایانه‌ها مرتبط نمی‌دانیم: غیرقابل پیش‌بینی بودن.

برخی از الگوریتم‌ها متوقف می‌شوند و نتیجه‌ای را خروجی می‌دهند. اما برخی دیگر برای همیشه اجرا می‌شوند. (برنامه‌ای را در نظر بگیرید که وظیفه چاپ رقم آخر پی را دارد.) تورینگ پرسید، آیا رویه‌ای وجود دارد که بتواند هر برنامه‌ای را بررسی کند و تعیین کند که آیا متوقف می‌شود؟ این سؤال به عنوان مسئله توقف شناخته شد.

تورینگ نشان داد که چنین رویه‌ای وجود ندارد با در نظر گرفتن اینکه اگر وجود داشته باشد به چه معناست. اگر یک ماشین بتواند رفتار ماشین دیگری را پیش‌بینی کند، می‌توانید به راحتی ماشین اول - ماشینی که رفتار را پیش‌بینی می‌کند - را طوری تغییر دهید که وقتی ماشین دیگر متوقف می‌شود، برای همیشه اجرا شود. و برعکس: وقتی ماشین دیگر برای همیشه اجرا می‌شود، متوقف می‌شود. سپس - و این قسمت ذهن‌پیچ است - تورینگ تصور کرد که توضیحی از این ماشین پیش‌بینی تنظیم شده را به خود تغذیه می‌کند. اگر ماشین متوقف شود، برای همیشه نیز اجرا می‌شود. و اگر برای همیشه اجرا شود، متوقف نیز می‌شود. از آنجایی که هیچ‌کدام از این گزینه‌ها نمی‌تواند باشد، تورینگ نتیجه گرفت که خود ماشین پیش‌بینی نباید وجود داشته باشد.

(یافته او ارتباط تنگاتنگی با نتیجه‌ای پیشگامانه از سال 1931 داشت، زمانی که منطق‌دان کورت گودل روشی مشابه برای تغذیه یک پارادوکس خودارجاعی در یک چارچوب ریاضی دقیق ایجاد کرد. گودل ثابت کرد که اظهارات ریاضی وجود دارند که حقیقت آنها قابل اثبات نیست.)

به طور خلاصه، تورینگ ثابت کرد که حل مسئله توقف غیرممکن است. تنها راه کلی برای دانستن اینکه آیا یک الگوریتم متوقف می‌شود این است که آن را تا جایی که می‌توانید اجرا کنید. اگر متوقف شود، پاسخ خود را دارید. اما اگر اینطور نباشد، هرگز نخواهید فهمید که آیا واقعاً برای همیشه اجرا می‌شود، یا اینکه اگر فقط کمی بیشتر صبر می‌کردید، متوقف می‌شد.

ولپرت گفت: "ما می‌دانیم که این نوع حالات اولیه وجود دارند که نمی‌توانیم از قبل پیش‌بینی کنیم که چه کاری انجام می‌دهد."

از آنجایی که مور جعبه خود را برای تقلید از هر ماشین تورینگ طراحی کرده بود، آن نیز می‌توانست به روش‌های غیرقابل پیش‌بینی رفتار کند. خروج توپ پایان محاسبه را نشان می‌دهد، بنابراین این سؤال که آیا هر آرایش خاصی از ضربه‌گیرها توپ را به دام می‌اندازد یا آن را به سمت خروج هدایت می‌کند، نیز باید غیرقابل تصمیم‌گیری باشد. مور گفت: "واقعاً، هر سؤالی در مورد پویایی بلندمدت این نقشه‌های دقیق‌تر غیرقابل تصمیم‌گیری است."

ماشین پین‌بال مور فراتر از آشوب معمولی بود. یک پیش‌بینی‌کننده گردباد نمی‌تواند دقیقاً بگوید که گردباد به چه دلیل در دو مکان فرود می‌آید: نادانی پیش‌بینی‌کننده از موقعیت دقیق هر پروانه برزیلی و قدرت محاسباتی محدود. اما ماشین پین‌بال مور دارای شکل اساسی‌تری از غیرقابل پیش‌بینی بودن بود. حتی برای کسی که دانش کاملی از ماشین و قدرت محاسباتی نامحدود دارد، سؤالات خاصی در مورد سرنوشت آن بی‌پاسخ باقی می‌ماند.

دیوید پرز-گارسیا، ریاضیدان دانشگاه کمپلوتنس مادرید، گفت: "این کمی چشمگیرتر است." "حتی با منابع بی‌پایان، شما حتی نمی‌توانید برنامه‌ای را بنویسید که مشکل را حل کند."

محققان دیگر قبلاً سیستم‌هایی را ارائه کرده‌اند که مانند ماشین‌های تورینگ عمل می‌کنند - به ویژه شبکه‌های تخته‌شطرنجی با مربع‌هایی که بسته به رنگ همسایگان خود روشن و خاموش می‌شوند. اما این سیستم‌ها انتزاعی و پیچیده بودند. مور یک ماشین تورینگ را از یک دستگاه ساده ساخت که می‌توانید تصور کنید در یک آزمایشگاه نشسته است. این یک نمایش زنده بود که یک سیستم که از هیچ چیز فراتر از فیزیک دبیرستان اطاعت نمی‌کند، می‌تواند طبیعت غیرقابل پیش‌بینی داشته باشد.

کیوبیت که پس از تسخیر تخیلش به عنوان دانشجوی فارغ‌التحصیل در مورد ماشین مور سخنرانی کرد، گفت: "این کمی تکان‌دهنده است که غیرقابل تصمیم‌گیری است." "این به معنای واقعی کلمه یک ذره است که در اطراف یک جعبه می‌چرخد."

کیوبیت پس از دریافت دکترای خود در فیزیک، به ریاضیات و علوم کامپیوتر روی آورد. اما او هرگز ماشین پین‌بال را فراموش نکرد و اینکه چگونه علوم کامپیوتر محدودیت‌هایی را برای فیزیک ماشین ایجاد می‌کند. او تعجب می‌کرد که آیا غیرقابل تصمیم‌گیری مشکلات فیزیکی را که واقعاً مهم هستند لمس می‌کند. در دهه گذشته، او دریافته است که این کار را انجام می‌دهد.

مواد مرموز مدرن

کیوبیت در سال 2012 غیرقابل تصمیم‌گیری را در مسیر برخورد با سیستم‌های کوانتومی بزرگ قرار داد.

او، پرز-گارسیا و همکارشان مایکل ولف در طول یک کنفرانس در کوه‌های آلپ اتریش برای قهوه دور هم جمع شده بودند تا در مورد اینکه آیا یک مشکل خاص ممکن است غیرقابل تصمیم‌گیری باشد یا خیر، بحث کنند. وقتی ولف پیشنهاد کرد که آن مشکل را کنار بگذارند و در عوض تصمیم‌پذیری یکی از بزرگترین مشکلات در فیزیک کوانتومی را حل کنند، حتی او هم گمان نمی‌کرد که واقعاً موفق شوند.

پرز-گارسیا گفت: "این به عنوان یک شوخی شروع شد. سپس شروع به پختن ایده‌ها کردیم."

ولف پیشنهاد کرد که یک ویژگی تعیین‌کننده هر سیستم کوانتومی به نام شکاف طیفی را هدف قرار دهند، که به میزان انرژی مورد نیاز برای تکان دادن یک سیستم از حالت کمترین انرژی خود اشاره دارد. اگر انجام این کار نیاز به مقداری نیروی محرکه داشته باشد، یک سیستم "شکاف دار" است. اگر بتواند در هر لحظه، بدون هیچ گونه تزریق انرژی، هیجان‌زده شود، "بدون شکاف" است. شکاف طیفی تعیین می‌کند که چه رنگی از یک علامت نئون می‌درخشد، یک ماده وقتی تمام گرما را از آن خارج می‌کنید چه کاری انجام می‌دهد، و - در یک زمینه متفاوت - جرم پروتون باید چقدر باشد. در بسیاری از موارد، فیزیکدانان می‌توانند شکاف طیفی را برای یک اتم یا ماده خاص محاسبه کنند. در بسیاری از موارد دیگر، نمی‌توانند. یک جایزه یک میلیون دلاری در انتظار هر کسی است که بتواند به طور دقیق از اصول اولیه ثابت کند که پروتون باید جرم مثبتی داشته باشد.

کیوبیت، ولف و پرز-گارسیا هدف بالایی داشتند. آنها به دنبال اثبات یا رد وجود یک استراتژی واحد - یک الگوریتم جهانی - بودند که به شما بگوید آیا هر چیزی از یک پروتون گرفته تا یک ورق آلومینیوم شکاف طیفی دارد یا خیر. برای انجام این کار، آنها به همان رویکردی که مور با ماشین پین‌بال خود استفاده کرده بود متوسل شدند: آنها یک ماده کوانتومی خیالی ابداع کردند که می‌توان آن را طوری تنظیم کرد که مانند هر ماشین تورینگ عمل کند. از آنجایی که این ماده دارای این ویژگی بود، می‌توانست از هر محاسباتی کپی کند که تعیین اینکه آیا یک ماشین تورینگ متوقف می‌شود یا خیر، غیرممکن است. در نتیجه، مشکل شکاف طیفی - تعیین اینکه آیا ماده جدید دارای شکاف است یا خیر - نیز باید غیرقابل تصمیم‌گیری باشد.

محققان پیشنهاد کردند که ماده تخیلی از آرایه‌ای منظم از اتم‌ها تشکیل شود. اتم‌ها با هم برهم‌کنش دارند، به طوری که هر کدام خود به خود می‌چرخند. با تنظیم قدرت میدان‌های مغناطیسی خارجی که بر این اتم‌ها تأثیر می‌گذارد، یک محقق می‌تواند پویایی ماده را طوری کنترل کند که به ماشین تورینگ شباهت داشته باشد. در این سیستم، شکاف طیفی برابر با این سؤال است که آیا ماشین تورینگ متوقف می‌شود یا خیر: با تنظیم خاص میدان‌های مغناطیسی، وجود شکاف تعیین می‌کند که آیا ماشین متوقف می‌شود یا به بی نهایت می‌رسد.

همانطور که ماشین پین‌بال مور محدودیت محاسباتی را در چیزی ساده شبیه به یک اسباب بازی کودک نشان داد، این ماده کوانتومی نشان داد که همان محدودیت به سیستم‌های کوانتومی می‌رسد که به طور بالقوه ممکن است وجود داشته باشند. مهمتر از آن، نشان داد که الگوریتمی وجود ندارد که بتواند تعیین کند که یک ماده کوانتومی شکاف دار است یا خیر.

ایان مک‌کولوچ، فیزیکدان نظری مؤسسه پرمتیر، گفت: "آن مقاله بسیار تکان دهنده بود." "آنها یک سؤال ساده درباره یک سیستم کوانتومی ایجاد کردند که هیچ الگوریتمی نمی‌تواند آن را حل کند."

آینده‌ای وجود دارد که در آن محدودیت محاسباتی دانش ما از مواد جدید را مهار می‌کند. با این حال، نکته اصلی کار کیوبیت و همکارانش بیشتر فلسفی است. این نشان می‌دهد که جهان از روش‌های شگفت‌انگیزی برای ایجاد رازها محافظت می‌کند. هر جا که نگاه کنید، مرزهایی وجود دارد که فراتر از آنها پیش نخواهید رفت.

محققان دیگر در حال اتصال غیرقابل تصمیم‌گیری به مجموعه در حال رشدی از پدیده‌های فیزیکی هستند. و در حالی که فیزیکدانان در اصل سیستم‌های کوانتومی را مطالعه می‌کردند، محققان به تازگی یافته‌اند که غیرقابل تصمیم‌گیری در سیستم‌های کلاسیک نیز وجود دارد. به عنوان مثال، ایوان نورموس، ریاضیدان دانشگاه تارتو در استونی، سال گذشته نشان داد که حتی معادلات ناویر-استوکس - معادلات متفاوتی که رفتار سیالات را توصیف می‌کنند - غیرقابل تصمیم‌گیری هستند. او اکنون در تلاش است تا نشان دهد که عدم تصمیم‌گیری در سیستم‌های سیال واقعی وجود دارد. (مشابه این است که ثابت کنیم عدم تصمیم‌گیری ماشین پین‌بال مور در فیزیک وجود دارد، نه اینکه فقط یک ابزار ریاضی است).

برای دهه‌ها، ریاضیدانان می‌دانستند که راه حل معادلات ناویر-استوکس در همه موارد با اطمینان رفتار نمی‌کند. با تغییر وضعیت اولیه یک سیال، می‌توان سیال را قبل از دیگری غیرقابل پیش‌بینی کرد، و اینکه کدام نتیجه زودتر رخ می‌دهد، غیرقابل تصمیم‌گیری است. با این حال، نورموس اخیراً نشان داده است که خود معادلات - فراتر از هر یک از راه‌حل‌های آن - به طور اساسی غیرقابل تصمیم‌گیری هستند. او در حال حاضر در تلاش است تا این ویژگی را در سیستم‌های سیال واقعی شناسایی کند.

اگر نورموس موفق شود، این احتمال وجود دارد که محدودیت‌های دانش فراتر از مقیاس کوانتومی وجود داشته باشد و حتی در برخی از آشکارترین سیستم‌های ماکروسکوپی نیز خود را نشان دهد.

ولپرت گفت: "یک پیام ساده این است که در درک این سیستم‌ها، ما نباید انتظار داشته باشیم که از نظر تئوری هر چیزی را محاسبه کنیم." "این یک پیام متواضع است."

مطابق با محدودیت‌ها، فیزیکدانان ممکن است مجبور شوند با رویکردی که خود فیزیکدانان آن را طرد می‌کنند، کنار بیایند: رها کردن.